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| ５２枚から５枚のカードを配って出来る異なった組み合わせは、 ５２×５１×５０×４９×４８／５×４×３×２×１＝２５９８９６０ 通りです。 この組み合わせの中にそれぞれの役が何通り含まれているのか計算します。 ＊ロイヤルストレートフラッシュ＊ ５枚が（１０、Ｊ、Ｑ、Ｋ、Ａ）であり、マークがすべてスペードかもしくはダイヤ、ハート、クラブであるから、４通り。 よって、４／２５９８９６０＝１／６４９７４０ （０．０００１５３９０８％） ＊ストレートフラッシュ＊ 連続した並びのものは、（Ａ、２、３、４、５）から（９、１０、Ｊ、Ｑ、Ｋ）までの、 １３−５＋１＝９ 通り。 （１０、Ｊ、Ｑ、Ｋ、Ａ）も連続しているが、ロイヤルストレートフラッシュとなってしまい、除かなくてはいけないから。 さらにマークは、スペードを始め４通りあり、９×４＝３６ よって、９×４／２５９８９６０＝３６／２５９８９６０ １／７２１９３．３３３３ （０．００１３８５１６９％） ＊フォーカード＊ ４枚の同数の選び方は、（Ａ、Ａ、Ａ、Ａ、？）を始め（２、２、２、２、？）から（Ｋ、Ｋ、Ｋ、Ｋ、？）までの１３通り。 残りの１枚は、５２枚のカードからそれら４枚を除く何が出ても良いから、５２−４ よって、１３×（５２−４）／２５９８９６０＝６２４／２５９８９６０ １／４１６５ （０．０２４００９６０４％） ＊フルハウス＊ ３枚の同数の選び方は、ＡＡＡを始め２２２、５５５、ＫＫＫ等の１３通り。 さらに４種のマークがあり、それぞれ（スペード、クラブ、ダイヤ）、（スペード、ダイヤ、ハート）のように４種から３種を選べるから、（４×３×２）÷（３×２×１）＝４通りの組み合わせが出来る。 ５枚の内、残り２枚の選び方は、同数のものを除く（１３−１）＝１２通りのどれかで、さらに４種のマークがあり、（スペード、クラブ）（ダイヤ、ハート）等、２種を選べるから、（４×３）÷（２×１）＝６ よって、１３×４×１２×６／２５９８９６０＝３７４４／２５９８９６０ １／６９４．１６６７ （０．１４４０５７６２％） |
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| ＊フラッシュ＊ 例えば、１３枚のハートの中から５枚を選ぶ組み合わせは、（１３×１２×１１×１０×９）÷（５×４×３×２×１）＝１２８７ 通りです。 しかしその中には、ロイヤルストレートフラッシュ及びストレートフラッシュが含まれており、前者は、（１０、Ｊ、Ｑ、Ｋ、Ａ）の１通りで、後者は、１３−５＋１＝９ 通りです。 それらダブりを差し引きます。 さらにマークの選び方は、ハートを始め４種類あります。 よって、４×｛１２８７−（１＋９）｝／２５９８９６０＝５１０８／２５９８９６０ １／５０８．８０１９ （０．１９６５４０１５％） ＊ストレート＊ （１０、Ｊ、Ｑ、Ｋ、Ａ）は、続いているものとする。 例えば、（Ａ、２、３、４、５）の場合を考えると、Ａはスペード、ダイヤ、ハート、クラブの４種いずれであっても良く、残る２、３、４、５も４種のマークのどれであってもかまいません。 （４の５乗） しかし５枚とも同じマークであると違った役になってしまい、それらを差し引くわけだが、マークは４種類あるから４通りを引きます。 さらに５枚のカードが続いているパターンは、（Ａ、２、３、４、５）を始め、（１０、Ｊ、Ｑ、Ｋ、Ａ）までの１０通りあります。 よって、１０×（４５−４）／２５９８９６０＝１０２００／２５９８９６０ １／２５４．８ （０．３９２４６４６８％） ＊スリーカード＊ ３枚の同数の選び方は、ＡＡＡを始め２２２、５５５、ＫＫＫ等の１３通り。 さらに４種のマークがあり、それぞれ（スペード、クラブ、ダイヤ）、（スペード、ダイヤ、ハート）のように４種から３種を選べるから、（４×３×２）÷（３×２×１）＝４通りの組み合わせが出来る。 残り２枚の選び方は、１枚目は５２枚のカードから３枚の同数のカード及びそれと同数の１枚のカードを含む、計４枚を差し引くいずれが出ても良いから、（５２−４）、２枚目は５２枚のカードから３枚の同数のカード及びそれと同数の１枚のカードを含む計４枚と、さらに残り２枚の内、１枚目に出たカードと残り３枚の同数のカードを含む４枚のカードの計８枚（例えば３枚の同数が２２２なら４枚目のカードは、まず２は省かねばならない。 ４枚目が４であったとすると、５枚目は４を省かねばならず、合計８枚を省くことになる。）を差し引いたいずれが出ても良いから、（５２−８） また、２枚で（２、３）と（３、２）、（７、９）と（９、７）のように２通りのダブりがあるから２で割ります。 よって、（５２−４）×（５２−８）／２＝１０５６ １３×４×１０５６／２５９８９６０＝５４９１２／２５９８９６０ １／４７．３２９５ （２．１１２８４５１４％） ＊＊（２、２、２、Ｘ、Ｙ）と選ぶ場合だと、Ｘは５２枚から４枚の２を除く何が出ても良いことになります。 最初２が３枚出たとすると手持ちのカードは、５２−３で４９枚になっています。 Ｘはその内、残る１枚の２が出てはいけないから４８枚の内なら何が出ても良いことになります。 Ｙでは、Ｘで仮に６が出ていたとすると、４枚の６を差し引いた４４枚の内なら何が出ても良いことになります。全体からだと、５２−８＝４４ さらにＸ、Ｙと選ぶ場合と、Ｙ、Ｘと選ぶ場合の２通りのダブりがあります。 ＊ツーペア＊ （ＸＸＹＹ？）を元に考えてみます。 同数、（ＸＸ）の選び方は（ＡＡ）を始め（５５）、（ＫＫ）等の１３通りで、さらに４種類のマークから（ハート、ダイヤ）（スペード、クラブ）等のように２通り選べるから、（４×３）÷（２×１）＝６ を掛けます。 同数、（ＹＹ）の選び方は、（ＸＸ）を除く１３−１＝１２ 通りで、同様に４種類のマークから２通り選べるから、（４×３）÷（２×１）＝６ を掛けます。 しかし、（ＸＸ、ＹＹ）と選ぶ場合と、（ＹＹ、ＸＸ）と選ぶ場合の２通りのダブりがあり全体を２で割ります。 ？は、ＸＸ及びＹＹで使った数字４個とさらに残っている同数４個の計８個を、全体５２枚から差し引いたいずれが出ても良い。 よって、１３×６×１２×６／２＝２８０８ ： ５２−８＝４４ ： ２８０８×４４＝１２３５５２ １２３５５２／２５９８９６０＝１／２１．０３５４ （４．７５３９０１５６％） ＊ワンペア＊ （？？ＸＹＺ）を元に考えてみます。 同数、（？？）の選び方は（ＡＡ）を始め（５５）、（ＫＫ）等の１３通りで、さらに４種類のマークから（ハート、ダイヤ）（スペード、クラブ）等のように２通り選べるから、（４×３）÷（２×１）＝６ を掛けます。 Ｘは、全体５２枚から？の４枚を除く何が出ても良いから（５２−４）、Ｙは、全体５２枚から？及びＸの８枚を除く何が出ても良いから（５２−８）、Ｚは、全体５２枚から？及びＸ、Ｙの４×３＝１２ 枚を除く何が出ても良いから（５２−１２）、さらに、（ＸＹＺ）、（ＸＺＹ）、（ＹＺＸ）等の３×２×１＝６ 通りのダブりがあるから６で割る。 よって、（５２−４）（５２−８）（５２−１２）／６＝１４０８０ １３×６×１４０８０／２５９８９６０＝１０９８２４０／２５９８９６０ １／２．３６６５ （４２．２５６９０２７６％） ＊ノーペア＊ 役のないもの。 １枚目は何が出ても良く５２通りで、２枚目以降の数がバラバラに出るにはそれぞれ（５２−４）、（５２−４×２）、（５２−４×３）、（５２−４×４）と掛ければよい。 また、（２、５、６、７、９）を例に取ると、（２６７９５）、（５６７９２）、（７９５６２）等、５×４×３×２×１＝１２０ 通りのダブりが出来るから１２０で割る。 ５２×（５２−４）×（５２−８）×（５２−１２）×（５２−１６）／１２０＝１３１７８８８ さらに、ロイヤルストレートフラッシュ、ストレートフラッシュ、フラッシュ、ストレートのマークがすべて同じもの、５枚のカードが連番のものの組合わせを除くから、 １３１７８８８−（４＋３６＋５１０８＋１０２００）＝１３０２５４０ よって、１３０２５４０／２５９８９６０＝１／１．９９５３０１４８８ （５０．１１７７３９４％） |
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| 全２５９８９６０ 通り中の各役の組み合わせ | ||||||||||||||||||||
表の数値をすべて足すと、２５９８９６０ になります。 |
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＊Ａ、Ｂ ２人でポーカーを行った場合、２人ともロイヤルストレートフラッシュが出来ている場合＊ ＊最初Ａに５枚、次Ｂに５枚と配った場合 Ａは、１／６４９７４０ Ｂは、残りのカード４７枚から５枚配り、その内同じマークになるのは３通り。 ３×５×４×３×２×１／４７×４６×４５×４４×４３＝１／５１１３１３ Ａ、Ｂ 掛け合わすと、１／６４９７４０×１／５１１３１３＝１／３３２２２０５０８６２０ ＊Ａ、Ｂ に１枚ずつ交互に配った場合 最初Ａは、５２枚中（１０、Ｊ、Ｑ、Ｋ、Ａ） の５通りで４種類のマークを選べるから、５×４／５２、次にＢは、 （１０、Ｊ、Ｑ、Ｋ、Ａ）の５通りで最初Ａが選んだマーク以外の３種を選ぶことに なるから、５×３／５１、さらにＡは５０枚中４枚、Ｂは４９枚中４枚・・・・・と繰り返すと Ａは、４×５×４×３×２×１／５２×５０×４８×４６×４４＝１／５２６２４０ Ｂは、３×５×４×３×２×１／５１×４９×４７×４５×４３＝１／６３１３０９．８８ Ａ、Ｂ 掛け合わすと、１／５２６２４０×１／６３１３１０＝１／３３２２２０５７４４００ |
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| ＊＊＊ カードセレクト・・・５２枚中、５枚を選ぶのは、 ５２×５１×５０×４９×４８＝３１１８７５２００通りです。 たとえば、（１，２，３，４）の４個の数字から２個を選んだとすると、最初は、１か２，３，４のどれか、２個目は、最初選んだ１個を除く３個のどれかで、４×３＝１２通りとなります。 （１２）、（１３）、（１４）、（２１）、（２３）、（２４）、（３１）、（３２）、（３４）、（４１）、（４２）、（４３）です。 ただ、（１２）と（２１）、（１４）と（４１）は、並び方が前後に違うだけで同様のものです。 そこで、２×１ で割ります。 ４×３／２×１＝６ 通りです。 本題に戻り、例えば、（２３５８９）と選んだとします。 （９８５２３）、（２５９８３）等、５×４×３×２×１＝１２０ 通りの並べ方があります。 だが、計算しやすいように（２３５８９）は１つ、（４６８ＪＫ）は１つとして扱うわけです。 よって、１２０で割り、２５９８９６０通りとなります。 ロイヤルストレートフラッシュは、（１０、Ｊ、Ｑ、Ｋ、Ａ）と選ぶもので、（Ｊ、Ａ、Ｋ、１０、Ｑ）でも（Ａ、Ｋ、１０、Ｊ、Ｑ）でもそれです。 しかし、１２０で割っているので、（１０、Ｊ、Ｑ、Ｋ、Ａ）は、「１つのもの」として扱えます。 マークは４通り有るから、２５９８９６０通り中の内の４通りとなるわけです。 面倒くさいですが、別に、５２枚中最初に選ぶのは、１０、Ｊ、Ｑ、Ｋ、Ａ の５つのどれかで、さらにマークは４通り有るから４を掛けて、２０／５２、 ２枚目は、５１枚中最初に選んだのと同マークの４通りを選べるから、４／５１、 と順番に行って、 ２０／５２ × ４／５１ × ３／５０ × ２／４９ × １／４８ ＝４８０／３１１８７５２００＝１／６４９７４０ と計算しても同様です。 フォーカードだと（ＡＡＡＡ？）、（２２２２？）から（ＫＫＫＫ？）まで、４個の同数の組み合わせは１３通り有ります。 ？は、５２枚から同数４個を除くと４８通りになります。 数字は、４８枚中何であれマークは何であれ関係有りません。 エースに対して４８通り、２に対して４８通り、・・・・・となり、２５９８９６０通り中、１３×４８通りのパターンが出来ます。 フルハウスのように、例えばＫを３枚選ぶ場合だと、スペードのＫとハートのＫとクラブのＫと言うように４つのマークから３つを選べます。 ４つから３つの選び方は（４×３×２）÷（３×２×１）＝４で、４通りです。 エースからキングまで１３の出方があるから、１３×４ となります。 同様にＱを２つ選ぶ場合だと、４つから２つの選び方は（４×３）÷（２×１）で、６通りです。 同数３枚のカードがキングであったとすると、同数２枚のものは、エースからクイーンまでの１２通りしか選べません。 ストレートの考え方。 例（２，３，４，５，６）の場合。 ２は、スペードであってもダイヤ、ハート、クラブであってもかまいません。 ３もマークは何であれかまいません。 ４，５，６もマークは何であれかまいません。この様に５つの数字すべてに対して４通りのマークが選べるわけです。 ４×４×４×４×４＝１０２４ 通りです。 しかし、これだと２も３も４，５，６もすべてスペードの場合、すべてダイヤ、ハート、クラブの場合の４通りが含まれており、１０２４から４を引きます。 さらに連番は、エースから始まる場合から１０までの１０通り有るから、１０２０に１０を掛けます。 スリーカードの考え方。 例、（３，３，３，Ｘ，Ｙ）、同数３枚のカードの選び方は、エースからキングまでの１３通りです。 Ｘは、例の場合だと３が出てはいけません（３は１枚残っています）。 ３枚の３と、１枚の３を除く、計５２枚から４枚を引いた４８枚の内なら何が出ても良いことになります。 Ｙは、たとえばＸで７が出ていたとすると、同数７が出てはいけません。 また、３が出てもいけません。 計５２枚から３と７の８枚を引く４４枚から選ぶことになります。 （５２枚から３，３，３と出た。 残４９枚の中には１枚の３が残っている。 ４８枚からＸをセレクト。 ７が出た。 残４８枚の中には１枚の３と、３枚の７が残っている。 ４４枚からセレクト。 ９が出た。） ここで、（３，３，３，Ｘ，Ｙ）のＸＹを考えます。 Ｘは３以外なら何が出てもかまいません。 ７であったとします。 Ｙは９であったとします。 Ｘは３以外何でも良いのだからＸ＝９で、Ｙ＝７の場合もあります。 （３３３７９）、（３３３９７）のような組み合わせが出来てしまいます。 これは、先のカードセレクトで「１つのもの」として扱ったはずです。 同様に（４４４ＪＫ）と（４４４ＫＪ）、（５５５８Ｑ）と（５５５Ｑ８）のような組み合わせも出来ます。 Ｘは４８、Ｙは４４で、ＸＹ合計で４８×４４＝２１１２ 通りの組み合わせになりますが、この様にＸＹとＹＸのダブりが出来てしまいます。 それで、２で割ってダブりを取り除きます。 ２１１２÷２＝１０５６ これで、（３３３７９）も（４４４ＪＫ）、（５５５８Ｑ）も「１つのもの」となりました。 ツーペアの場合も同様に考えます。 そのままだと（ＸＸＹＹ？）と（ＹＹＸＸ？）のパターンを含んでしまいます。 ２で割ります。 |
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